II.Newtonov zakon za kroženje

1. Bob doseže pri vožnji po stezi hitrosti večje od 100 km/h. Zaradi tega mora v ovinkih steze voziti v delu steze z ustreznim naklonom. Prečni presek steze za bob ima polkrožno obliko, kot kaže slika. Bob obravnavaj kot točkasto telo. Kolikšen je kot ‘ na sliki (kot med navpičnico in pravokotnico na krožni lok), če pelje skozi ovinek s polmerom 20 m s hitrostjo 80 km/h? Koeficient trenja v prečni smeri glede na drsalke, na katerih drsi bob, je 0,1.

Rešitev :

Podatki: R = 20 m, v₀ = 80 km/h, k_t = 0,1.

Narišemo sile na klancu, kakor si lahko predstavljamo del steze. Izračunamo ω₀ = v² / R . Sile razdelimo po komponentah (vzporedno in pravokotno na klanec). X os je torej modra črta .Velja II. Newtonov zakon za enakomerno kroženje za os x in os y.

x: mω²R cos φ = mg sin φ – kt F₀

y: mω²R sinφ = mg cos φ – F₀

Iz enačbe za smer Y izpeljemo F₀ in vstavimo v izraz za smer x. Dobimo trigonometrično enačbo in dobimo

tg(φ) = k_t g / (k_t ω²R + g – ω²R) iz katere izpeljemo še kot

φ = 1,1 rd ali 63° .

2.Majhni kovinski kroglici mase m = 5 g in M = 10 g sta obešeni na vrvicah dolžine b = 1 m, ki sta pritrjeni na strop v skupni točki. Lažjo kroglico izmaknemo , da se dvigne do višine h = 10 cm in jo spustimo. Kroglici trčita in se prožno odbijeta. Kako se gibljeta po trku? Kako visoko h1 in h2 se dvigneta?

Rešitev :

 

Lažja kroglica udari ob težjo s hitrostjo, ki jo izpeljemo iz ohranitve potencialne in kinetične enrgije W_p1 = W_k2. Toraj vstavimo količine za potencialno in kinetično energijo m g h = m v₁² /2 , iz česar sledi v₁ = (2g h)^1/2 _.

Ob centralnem prožnem trku obeh kroglic dobimo , njune hitrosti po trku. Upoštevamo ohranitev gibalne količine.

G₁ = G₂ in ohranitev skupne kinetične energijeW_k1=W_k2, m v₁ =M v₃ – m v₂ in

m v₁² /2= m v₂² /2 + M v₃² /2. Iz prve enačbe izrazimo

m (v₁ + v₂₎ = M v₃ drugo preuredimo v m(v₁² – v₂²) =M v₃²

Levo stran predhodne enačbe razcepimo v obliko m(v₁ -v₂)(v₁ + v₂) = Mv₃² in z upoštevanjem zgornje zveze m (v₁ – v₂₎ = M v₃ dobimo M v₃ (v₁ -v₂) = M v_{3² iz česar sledi, da je v3 =} v_{1 –} v₂. Potem hitrost v₃ vstavimo v enačbo m v₁ =M v₃ – m v_2, tako da dobimo m v₁ = M (v₁ – v₂) – m v₂. Iz te izpeljemo hitrost v₂ male kroglice po trku v₂ = (M -m)/(M+m) v₁

Upoštevamo še da je izračunana hitrost v1 = 1,4 m/s in hitrostmale kroglice po trku je v2 = 0,47 m/s.

Po trku mala kroglica doseže višino h₁ . Upoštevamo , da se njena kinetična energija pretvori v potencialno m v_2²/2 = m g h₁ iz česar izpeljemo višino h₁ = 1,1 cm. Enako večja kroglica poleti proti levi s hitrostjo v₃ = m (v₁ -v₂) / M = 0,93 m/s. In tudi zanjo velja ista enačba M v₃² = M g h₂ iz česar izračunamo h₂ = 4,3 cm.

3. Na spodnjo stran klade z maso 40 kg pritrdimo dve tanki letvi iz različnih materialov, kot kaže slika. Klada v obliki kvadra z višino 20 cm in dolžino 45 cm. Letvi pritrdimo na sprednjem in zadnjem koncu klade. Celoten sistem se dotika tal le preko letev, vendar je debelina letev zanemarljiva v primerjavi z debelino klade. Klada po dolžini ni homogena, težišče se nahaja 15 cm od sprednjega konca. višina težišča klade je na polovični višini. Klado potisnemo v vodoravni smeri, tako da se začne gibati s hitrostjo 5 m/s. Kolikšno pot opravi klada, preden se ustavi? Koeficient trenja med sprednjo letvijo in tlemi je 0,20 , med zadnjo letvijo in tlemi pa 0,35.

Rešitev:
Podatki :

m = 40 kg

h = 20 cm (višina klade)

l = 45 cm (dolžina klade)

r₁ =15 cm (od levega roba do težišča)

k_t1 = 0,20

k_t2 = 0,35+

v = 5 m/s

——————-

Z F₁ in F₂ smo označili komponenti sil podlag na prednjo in zadnjo letev. Vodoravni sili sta sili trenja F_tr1 = k_t1 F₁ in F_tr2 = k_t2 F₂ . V vodoravni smeri velja m a = k_t1 F₁ + k_t2 F₂ in navpični smeri velja F₁ + F₂ = mg

Za ravnovesje navorov velja , ob upoštevanju r₂ = l – r₁ = 30 cm (ročica sile F₂)

-F₁ r₁ + k_t1 F₁ h/2 + F₂ r₂ + k_t2 F₂ h/2 = 0

V to ravnovesno enačbo vstavimo F₂ = mg – F₁ in izpeljemo silo F₁ = (r₂ + k_t2 h/2) mg / (l + h(k_t2-k_t1)/2) in enako še silo

F₂ = ( r₁ – k_t1 h/2) mg / (l + h(k_t2 – k_t1)/2) .

Ko imamo znani obe sili, lahko izračunamo še pojemek a = (k_t1 F₁ + k_t2 F₂ ) / m

Pot, ki jo opravi do zaustavitve, je s = v² / (2a) = 5,3 m .

4. Po dveh vzporednih tirih se v enakih vozičkih peljeta v isti smeri dva fanta. Masa vozička je 100 kg, masa posameznega fanta 50 kg. Prvi fant se pelje s hitrostjo 5,0 m/s, drugi pa s hitrostjo 4,0 m/s. Ko prvi fant dohiti drugega, vrže v smeri paravokotno glede na svoj voziček v drugi voziček skalo z maso 40 kg. Kolikšna je hitrost prvega in hitrost drugega vozička potem?

Rešitev :

podatki

m_v = 100 kg m_f = 50 kg

m_s = 40 kg v₁ = 5,0 m/s

v₂ = 4,0 m/s

Ker je pri metu prvega vozička sila pravokotna na smer gibanja, se komponenta gibalnih količin v smeri gibanja tako prvega fanta in vozička kot skale ne spremenita, prav tako ne komponente hitrosti, v₁‘ = v1.

Ohranja se tudi komponenta skupne gibalne količine v smeri gibanja za celoten sistem fantov, vozičkov ibn skale:

(m_v+m_f+m_s) v₁ + (m_v+m_f)v₂ = (m_v + m_f) v₁ + (m_v + m_f +m_s) v₂‘

pri čemer smo upoštevali, da se hitrost prvega vozička in fanta ne spremeni. Hitrost drugega vozička z drugim fantom in skalo je potem :

v₂‘ = (m_s v₁ + (m_v+m_f) v₂ /(m_v + m_f + m_s) = 4,2 m/s